Cálculos para Retificação de Onda

Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa

10 de agosto de 2011

Resumo

Este documento objetiva fornecer um material documentado das equações envolvidas na determinação de tensões DC, RMS, fator de ondulação de “ripple” usadas ao longo da disciplinas de Eletrônica.

1 Cálculo de valor DC de sinais

O nível DC, ou nível CC, corresponde ao valor médio do sinal - f(t) - em um intervalo de tempo infinito (T → ∞). Como nossos sinais geralmente serão periódicos, T é finito e corresponde ao inverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos:

V_{dc} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)dt  (1)

Como sabemos, qualquer sinal pode ser decomposto em uma parcela constante (nível DC) e outra parcela que oscila (nível AC). Nesta decomposição, oriunda da Teoria e Séries de Fourier, notaremos que a média obtida por pela Eq. 1 gera o nível constante do sinal.

1.1 Exemplos

1.1.1 Sinal senoidal

Considere o sinal

f(t) = V_{m} sen(ωt)

onde ω = 2π/T é a freqüência - em radianos - do sinal f(t) e V_{m} é o valor máximo do sinal f(t). Naturalmente sua média, intuitivamente, é zero. Usando a Eq. 1, temos:

V_{dc} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)dt

= \frac{ω}{2π} \{∫_{0}^{2π/ω} V_{m} sen(ωt)dt\}

= \frac{V_{m}}{2π} \{[− cos(ωt)]_{0}^{2π/ω}\}

= 0 1.1.2 Retificação de sinal senoidal em meia onda

O sinal a ser retificado em meia onda é f(t) = V_{m} sen(ωt), com ω = 2π/T, T é o período fundamental do sinal e V_{m} é o valor máximo do sinal f(t). Aplicando a Eq. 1, temos:

V_{dc} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)dt

= \frac{ω}{2π} \{∫_{0}^{π/ω} V_{m} sen(ωt)dt\}

= \frac{ω}{2π} \{[− cos(ωt)]_{0}^{π/ω}\}

= \frac{1}{π} V_{m}

= 0,318V_{m}

1.1.3 Retificação de sinal senoidal em onda completa

O sinal a ser retificado em onda completa é f(t) = V_{m} sen(ωt), com ω = 2π/T, T é o período fundamental do sinal e V_{m} é o valor máximo do sinal f(t). Aplicando a Eq. 1, temos:

V_{dc} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)dt

= \frac{ω}{2π} \{∫_{0}^{π/ω} V_{m} sen(ωt)dt − ∫_{π/ω}^{2π/ω} V_{m} sen(ωt)dt\}

= \frac{ω}{2π} \{[− cos(ωt)]_{0}^{π/ω} − [− cos(ωt)]_{π/ω}^{2π/ω}\}

= \frac{2}{π} V_{m}

= 0,636V_{m}

1.1.4 Onda quadrada

Este sinal é definido por:

f(t) = \begin{cases}1, 0 ≤ t ≤ \frac{T}{2} \\ 0, \frac{T}{2} ≤ t ≤ T \end{cases}

Aplicando a Eq. 1, temos:

V_{dc} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)dt

= \frac{1}{T} ∫_{0}^{T/2} V_{m}dt

= \frac{1}{2}V_{m}

2 Cálculo de valor RMS de sinais

O valor eficaz, ou valor RMS, corresponde ao valor médio quadrático do sinal - f(t) - em um intervalo de tempo infinito (T → ∞). Como esses sinais geralmente são periódicos, T é finito e corresponde ao inverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos:

V_{rms} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f^{2}(t)dt  (2)

O valor eficaz pode ser visto como a energia do sinal. Note que f(t) pode conter nível DC e AC. Geralmente aplicamos a Eq. 2 em sinais sem nível DC, ou seja, estamos interessados em quantificar em um único número um sinal contendo apenas componentes oscilatórias.

2.1 Exemplos

Considere os sinais já definidos na seção anterior

2.1.1 Sinal senoidal Usando a Eq. 2, temos:

V_{rms}^{2} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f^{2}(t)dt

= \frac{ω}{2π} \{∫_{0}^{2π/ω} V_{m}^{2} sen^{2}(ωt)dt\}

= \frac{1}{2} \frac{ω}{2π} V_{m}^{2} \{∫_{0}^{2π/ω} dt − ∫_{0}^{2π/ω} cos(2ωt)dt\}

= \frac{1}{2} \frac{ω}{2π} V_{m}^{2} [t]_{0}^{2π/ω} − \frac{1}{2} \frac{ω}{2π} V_{m}^{2} [\frac{sen(2ωt)}{2ω}]_{0}^{2π/ω}

= \frac{V_{m}^{2}}{2} ⇒ V_{ac} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}

onde sen^{2}(α) = \frac{1}{2} [1 − cos(2α)] (das relações trigonométricas).

2.1.2 Retificação de sinal senoidal em meia onda Usando a Eq. 2, temos:

V_{rms}^{2} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f^{2}(t)dt

= \frac{ω}{2π} \{∫_{0}^{π/ω} V_{m}^{2} sen^{2}(ωt)dt\}

= \frac{1}{2} \frac{ω}{2π} V_{m}^{2} \{∫_{0}^{π/ω} dt − ∫_{0}^{π/ω} cos(2ωt)dt\}

= \frac{1}{2} \frac{ω}{2π} V_{m}^{2} [t]_{0}^{π/ω} − \frac{1}{2} \frac{ω}{2π} V_{m}^{2} [\frac{sen(2ωt)}{2ω}]_{0}^{π/ω}

= \frac{V_{m}^{2}}{4} ⇒ V_{ac} = \frac{V_{m}}{2}

2.1.3 Retificação de sinal senoidal em onda completa Usando a Eq. 2, temos:

V_{rms}^{2} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f^{2}(t)dt

= \frac{ω}{2π} \{∫_{0}^{π/ω} V_{m}^{2} sen^{2}(ωt)dt + ∫_{0}^{π/ω} [−V_{m}^{2} sen^{2}(ωt)]\}

= 2\frac{ω}{2π} \{∫_{0}^{π/ω} V_{m}^{2} sen^{2}(ωt)dt\}

= \frac{V_{m}^{2}}{2} ⇒ V_{ac} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}

Note que o valor RMS do sinal retificado é exatamente igual ao valor RMS do sinal não retificado (sinal senoidal). É fácil verificar isso visualmente, o que simplifica os cálculos.

2.1.4 Onda quadrada

Usando a Eq. 2, temos:

V_{rms}^{2} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f^{2}(t)dt

= \frac{1}{T} ∫_{0}^{T/2} V_{m}^{2}dt

= \frac{V_{m}^{2}}{2} ⇒ V_{ac} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}

3 Cálculo de valor RMS na parcela AC de sinais

O valor RMS na parcela AC de sinais consiste em eliminar o nível DC do sinal e determinar o valor eficaz deste. Para facilitar esse cálculo, considere que:

f(t) = f_{ac}(t) + V_{dc}  (3)

Isso significa que:

f_{ac}(t) = f(t) − V_{dc}  (4)

Calculando o valor eficaz de f_{ac}(t) através da Eq. 2 e considerando a definição de nível DC (Eq. 1), temos:

V_{ac}^{2} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f_{ac}^{2}(t)dt

= \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} [f(t) − V_{dc}]^{2} dt

= \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} [f^{2}(t) − 2V_{dc}f(t) + V_{dc}^{2}] dt

= \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f^{2}(t)dt − 2V_{dc} \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)dt + \frac{1}{T} V_{dc}^{2} ∫_{0}^{T} dt

= V_{rms}^{2} − 2V_{dc}V_{dc} + V_{dc}^{2}

= V_{rms}^{2} − V_{dc}^{2}

Logo,

V_{rms}^{2} = V_{ac}^{2} + V_{dc}^{2}  (5)

3.1 Exemplos

Considere os sinais já definidos na seção anterior

3.1.1 Sinal senoidal Usando a Eq. 5, temos:

V_{ac}^{2} = V_{rms}^{2} − V_{dc}^{2}

= \frac{V_{m}^{2}}{2} ⇒ V_{ac} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}

3.1.2 Retificação de sinal senoidal em meia onda Usando a Eq. 5, temos:

V_{ac}^{2} = V_{rms}^{2} − V_{dc}
= \frac{V_{m}^{2}}{4} − \frac{V_{m}^{2}}{π^{2}} = V_{m}^{2} [\frac{1}{4} − \frac{1}{π^{2}} ] ⇒ V_{ac} ≈ 0,385V_{m}

3.1.3 Retificação de sinal senoidal em onda completa Usando a Eq. 5, temos:

V_{ac}^{2} = V_{rms}^{2} − V_{dc}
= \frac{V_{m}^{2}}{2} − \frac{4}{π^{2}} V_{m}^{2} = V_{m}^{2} [\frac{1}{2} − \frac{4}{π^{2}} ] ⇒ V_{ac} ≈ 0,308V_{m}

3.1.4 Onda quadrada Usando a Eq. 5, temos:

V_{ac}^{2} = V_{rms}^{2} − V_{dc}

= \frac{V_{m}^{2}}{2} − \frac{V_{m}^{2}}{4} ⇒ V_{ac} = \frac{V_{m}}{2}

4 Fator de ondulação

No processo de retificação CA-CC, temos interesse de verificar quando “retificado” é o sinal resultando do processo. Isso permite comparar métodos de retificação.

Tal medida é chamada fator de ondulação e é definida por:

r = \frac{V_{ac}}{V_{dc}} × 100%  (6)

4.1 Exemplos

Considere os sinais já definidos na seção anterior 4.1.1 Sinal senoidal Usando a Eq. 6, temos:

r = \frac{V_{ac}}{V_{dc}} × 100% = \frac{\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}}{0} × 100% = ∞

4.1.2 Retificação de sinal senoidal em meia onda Usando a Eq. 6, temos:

r = \frac{V_{ac}}{V_{dc}} × 100% = \frac{0,385V_{m}}{0,318V_{m}} × 100% = 121%

4.1.3 Retificação de sinal senoidal em onda completa Usando a Eq. 6, temos:

r = \frac{V_{ac}}{V_{dc}} × 100% = \frac{0,308V_{m}}{0,636V_{m}} × 100% = 48%

4.1.4 Onda quadrada Usando a Eq. 6, temos:

r = \frac{V_{ac}}{V_{dc}} × 100% = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} \frac{2}{V_{m}} × 100% = 141%

5 Retificação com filtro capacitivo

Considere a Fig. 1, na qual um trecho do sinal retificado em onda completa sem e com filtro capacitivo é apresentado. Queremos determinar V_{rms-ac} desse sinal, construído a partir de uma aproximação por sinal triangular. Naturalmente temos:

Figura 1: Sinal retificado em onda completa, sem e com filtro capacitivo

V_{dc} = V_{m} − \frac{ΔV}{2}  (7)

Note que ΔV corresponde à tensão pico-a-pico do sinal retificado, enquanto que V_{m} é o valor máximo desse sinal.

Considerando o intervalo T_{2}, que é o trecho onde há descarga do capacitor, temos:

I_{c} = \frac{ΔQ}{T_{2}} = \frac{ΔV C}{T_{2}} ≈ I_{dc} = \frac{ΔV C}{T_{2}}  (8)

Sabemos que (vide demonstração Seção 5.1)

V_{ac} = \frac{ΔV}{2\sqrt{3}}  (9)

Note V_{ac} depende de ΔV, que foi calculado em função da corrente de descarga do capacitor (ou uma aproximação da corrente DC). Mas tal corrente depende de T_{2}, que precisamos determinar.

Por relação de triângulos e considerando a rampa de carga do capacitor (na Fig. 1), temos que:

\frac{ΔV}{T_{1}} = \frac{V_{m}}{T/4}

Isso permite que determinemos T_{1} em função de parâmetros conhecidos do sinal, ou seja:

T_{1} = ΔV \frac{T/4}{V_{m}}

e naturalmente

T_{2} = \frac{T}{2} − T_{1}

= \frac{T}{2} − ΔV \frac{T/4}{V_{m}}

= \frac{2T V_{m} − (ΔV)T}{4V_{m}}

= (\frac{2V_{m} − ΔV}{V_{m}} ) \frac{T}{4}

Reescrevendo a Eq. 7, temos que:

V_{dc} = \frac{2V_{m} − ΔV}{2}

E assim,

T_{2} = \frac{V_{dc}}{V_{m}} \frac{T}{2}

Retornando T_{2} na Eq. 8, produzindo:

ΔV = \frac{I_{dc}}{C} [\frac{V_{dc}}{V_{m}} \frac{T}{2} ]

= \frac{I_{dc}}{2fC} \frac{V_{dc}}{V_{m}}

(10)

Assim, usando a Eq. 9, temos:

V_{ac} = \frac{I_{dc}}{4\sqrt{3}fC} \frac{V_{dc}}{V_{m}}  (11)

Se considerarmos a retificação em meia-onda com filtragem por capacitor, as expressões ficam um pouco mais complexas com a aproximação por onda triangular adotada, ou seja:

ΔV = \frac{I_{dc}}{2fC} \frac{V_{m} + V_{dc}}{V_{dc}}  (12)

pois T_{2} = T − T_{1} para meia onda.

O valor eficaz da parcela AC da retificação em meia-onda é:

V_{ac} = \frac{I_{dc}}{4\sqrt{3}fC} (\frac{V_{m} + V_{dc}}{V_{m}} )  (13)

Posteriormente verifique os cálculos de valor eficaz da parcela AC usando a aproximação (com onda também triangular) da onda retificada e filtrada usando capacitor da Fig. 2.

Figura 2: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal retificado filtrado por capacitor

5.1 Demonstração de V_{ac} = ΔV/(2\sqrt{3})

Considere a Fig. 3, que é um período da aproximação do sinal retificado em onda completa após a aplicação do filtro capacitivo. A partir do mesmo, determinamos dois segmentos de reta que forma f(t).

Figura 3: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal retificado filtrado por capacitor

f(t) = \begin{cases}f_{1}(t) = \frac{ΔV}{T_{1}} t − \frac{ΔV}{2} , & 0 ≤ t ≤ T_{1} \\ f_{2}(t) = −\frac{ΔV}{T_{2} − T_{1}} (t − T_{1}) + \frac{ΔV}{2} , & T_{1} ≤ t ≤ T_{2} \end{cases}

Aplicando a Eq. 2 (pois da Eq. 5 e da Fig. 3 notamos que o nível DC de f(t) é zero), temos:

\begin{aligned}V_{ac} & = \frac{1}{T_{2}} ∫_{0}^{T_{2}} f^{2}(t)dt \\ & = \frac{1}{T_{2}} [∫_{0}^{T_{1}} f_{1}^{2}(t)dt + ∫_{T_{1}}^{T_{2}} f_{2}^{2}(t)dt] \end{aligned}

Calculando a primeira integral, temos:

∫_{0}^{T_{1}} f_{1}^{2}(t)dt = ∫_{0}^{T_{1}} [\frac{ΔV}{T_{1}} t − \frac{ΔV}{2} ]^{2} dt

= ∫_{0}^{T_{1}} \frac{(ΔV)^{2}}{T_{1}^{2}} t^{2}dt − ∫_{0}^{T_{1}} \frac{2(ΔV)^{2}}{2T_{1}} tdt + ∫_{0}^{T_{1}} \frac{(ΔV)^{2}}{4} dt

= \frac{1}{3} \frac{(ΔV)^{2}}{T_{1}^{2}} [t^{3}]_{0}^{T_{1}} − \frac{1}{2} \frac{(ΔV)^{2}}{T_{1}} [t^{2}]_{0}^{T_{1}} + \frac{(ΔV)^{2}}{4} [t]_{0}^{T_{1}}

= \frac{1}{3}(ΔV)^{2}T_{1} − \frac{1}{2}(ΔV)^{2}T_{1} + \frac{1}{4}(ΔV)^{2}T_{1}

= \frac{1}{12}(ΔV)^{2}T_{1}

Calculando a segunda integral, temos:

\begin{aligned}∫_{0}^{T_{1}} f_{2}^{2}(t)dt & = ∫_{T_{1}}^{T_{2}} [−\frac{ΔV}{T_{2} − T_{1}} (t − T_{1}) − \frac{ΔV}{2} ]^{2} dt \\ & = ∫_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{(ΔV)^{2}}{(T_{2} − T_{1})^{2}} (t − T_{1})^{2}dt − ∫_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{2(ΔV)^{2}(t − T_{1})}{2(T_{2} − T_{1})}dt + ∫_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{(ΔV)^{2}}{4} dt \end{aligned}

Para facilitar a integração, efetuamos a seguinte troca de variáveis:

a = t − T_{1} ⇒ \begin{cases}t = T_{2} & → a = T_{2} − T_{1}, \\ t = T_{1} & → a = 0, \\ dt = da \end{cases}

∫_{0}^{T_{1}} f_{2}^{2}(t)dt = ∫_{0}^{T_{2}−T_{1}} \frac{(ΔV)^{2}}{(T_{2} − T_{1})^{2}} a^{2}da − ∫_{0}^{T_{2}−T_{1}} \frac{(ΔV)^{2}}{(T_{2} − T_{1})}a da + ∫_{0}^{T_{2}−T_{1}} \frac{(ΔV)^{2}}{4} da

= \frac{1}{3} \frac{(ΔV)^{2}}{(T_{2} − T_{1})^{2}} (T_{2} − T_{1})^{3} − \frac{1}{2} \frac{(ΔV)^{2}}{(T_{2} − T_{1})}(T_{2} − T_{1})^{2} − \frac{(ΔV)^{2}}{4} (T_{2} − T_{1})

= \frac{1}{12}(ΔV)^{2}(T_{2} − T_{1})

Com as duas integrais resolvidas, temos:

\begin{aligned}V_{ac}^{2} & = \frac{\frac{1}{12}(ΔV)^{2}T_{1} + \frac{1}{12}(ΔV)^{2}(T_{2} − T_{1})}{T_{2}} \\ & = \frac{1}{12}(ΔV)^{2} \end{aligned}

Ou seja:

V_{ac} = \frac{ΔV}{2\sqrt{3}}

Posteriormente verifique se esse resultado é verificado para a onda triangular mostrada na Fig. 4.

Figura 4: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal retificado filtrado por capacitor

5.2 Estimativa do fator de ondulação

A partir do cálculo do nível RMS de uma onda triangular qualquer (Eq. 9) e da expressão do fator de ondulação (Eq. 6), temos:

\begin{aligned}r & = \frac{V_{ac}}{V_{dc}} × 100% \\ & = \frac{ΔV}{2\sqrt{3}} \frac{1}{V_{dc}} × 100% \end{aligned}

Mas, da Eq. 7, temos:

V_{dc} = V_{m} − \frac{ΔV}{2} ⇒ ΔV = 2 (V_{m} − V_{dc})

E, portanto:

r = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{V_{m} − V_{dc}}{V_{dc}} × 100%  (14)

Isso significa que:

\frac{V_{m}}{V_{dc}} = 1 + \sqrt{3}r

Note que estas expressões são válidas para retificação tanto em meia-onda quanto em onda completa, já que podemos representar a onda de “ripple” de ambas as retificações por uma onda triangular. Além disso, a expressão resultante (Eq. 14) independe de T.

5.3 Estimativa do nível DC

Podemos agora estimar o valor V_{dc} a partir do valor máximo de tensão da onda a ser retificada (V_{m}) e outras informações do circuito, facilitando a comparação com medidas obtidas a partir do multímetro.

Considere uma resistência de carga R_{L} drenando uma corrente I_{dc} do circuito retificador ca-cc. Desta forma temos uma tensão sobre o resistor de carga V_{dc}. A partir da Eq. 10 temos:

\begin{aligned}ΔV & = \frac{I_{dc}}{2fC} \frac{V_{dc}}{V_{m}} \\ & = \frac{V_{dc}^{2}}{2fR_{L}CV_{m}} \end{aligned}

Considerando a Eq. 7, temos:

2 (V_{m} − V_{dc}) = \frac{V_{dc}^{2}}{2fR_{L}CV_{m}}

V_{dc}^{2} + 4fR_{L}CV_{m}V_{dc} − 4fR_{L}CV_{m}^{2} = 0

Resolvendo V_{dc} dessa equação de segundo grau, temos:

V_{dc} = 2V_{m} [−fR_{L}C ± \sqrt{fR_{L}C(fR_{L}C + 1)}]

Note que −a−\sqrt{a(a + 1)} é negativo, resultando em uma tensão V_{dc} também negativa, o que é incompatível com o processo de retificação, e também com a Eq. 7 para valores positivos de V_{m} e V_{m} ≫ ΔV/2. Assim:

V_{dc} = 2V_{m} [−fR_{L}C + \sqrt{fR_{L}C(fR_{L}C + 1)}]  (15)

Assim, a partir da resistência de carga, do capacitor de retificação e da freqüência e amplitude do sinal CA podemos estimar a tensão CC produzida.

Para a retificação em meia-onda com filtragem usando capacitor temos:

V_{dc} = \frac{V_{m}}{2} [−(1 + 4fR_{L}C) + \sqrt{(1 + 4fR_{L}C)^{2} + 4^{2}fR_{L}C}]  (16)

que é obtida relacionando a Eq. 7 e a Eq. 12. Posteriormente calcule V_{dc} para a aproximação mostrada na Fig. 2.