Curso de Sinais e Sistemas versão 1.0.3

Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa

20 de agosto de 2018

Resumo

O presente material serve de auxílio para o curso de sinais e sistemas ministrado em graduação e pós-graduação. De acordo com as qualificações da turma, capítulos poderão ser supridos, assim como algumas demonstrações ao longo do documento.

Este é um trabalho inicial, e sofrerá muitas revisões ao longo dos anos. Qualquer comentário, dúvida, críticas e correções, favor contacte-me pelo email.

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Sumário

1 Introdução 1

2 Análise no domínio do tempo 2

2.1 Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Sinais pares e ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2.2 Solução de EDO linear com coeficientes constantes . . 3

2.2.2.1 Formas de solução homogênea para LTI … 3 2.2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.3.1 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.3.2 Causalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.3.3 Memória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.4 Resposta ao impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.5 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.5.1 Propriedades da integral de convolução … 19

3 Análise da frequência 27 3.1 Transformada generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Capítulo 1

Introdução

O material que você tem em mãos é um retrato da disciplina de sinais e sistemas que tenho ministrado. Tenho dois objetivos nessa disciplina para alunos de engenharia elétrica e de computação: apresentar todas as relações matemáticas, bem como deduzi-las a fim de responder a pergunta chave: “de onde essa equação veio?”.

O segundo objetivo é relacionar essa teoria matemática, que parece abstrata, com elementos de circuitos elétricos e eletrônicos, estruturas de comunicação de dados e tecnologias atuais. Aparelhos de celulares ou “smartphones” não existiriam sem transformada ou séries de Fourier, apenas para se ter uma ideia.

Esse texto está em construção e evolução: logo, toda sugestão e crítica é sempre bem vinda.

Análise no domínio do tempo

2.1 Sinais

2.1.1 Sinais pares e ímpares

Qualquer sinal pode ser decomposto de diversas maneiras. Por exemplo, sinais periódicos podem ser decompostos em uma soma de diversos senos e cossenos, como já vimos em Cálculo 4 (esse será uma das análises que faremos na Seção 3).

Sinais pares e ímpares são sinais que obedecem relações análogas às encontradas em funções pares e funções ímpares. Mais ainda, qualquer sinal (mesmo aqueles que não são pares nem ímpares) podem ser decompostos em parcelas pares e ímpares. Isso implica que cálculos como o de Séries de Fourier podem ser facilitados, visto que sinais pares e ímpares possuem respectivamente b_{n} = 0 e a_{n} = 0 (não precisamos calcular componentes associadas a senos e cossenos respectivamente na construção da série de Fourier de um sinal par ou ímpar).

Matematicamente definimos um sinal par x(t)(∈ ℂ) como:

x(t) = x^{∗}(−t)  (2.1)

e um sinal ímpar como:

x(t) = −x^{∗}(−t)  (2.2)

Note que são as mesmas definições de funções contínuas: a única diferença é a presença da operação conjugado (termo ∗ em ambas as equações. Tal conjugado ocorre devido a consideração de que x(t) pode ser um sinal cuja amplitude assumir valores complexos.

Como qualquer sinal possui uma parcela par e outra ímpar, podemos encontrar tais parcelas da seguinte forma:

Pela definição,

x(t) = x_{p}(t) + x_{i}(t)  (2.3)

na qual x_{p}(t) é a parcela par de x(t) - que obedece a Equação 2.1 - e x_{i}(t) é a parcela ímpar de x(t) - que obedece a Equação 2.2.

Pelas Equações 2.1 e 2.2, temos que:

\begin{aligned}x(t) & = x_{p}^{∗}(−t) − x_{i}^{∗}(−t) \\ x(−t) & = x_{p}^{∗}(+t) − x_{i}^{∗}(+t) \\ x^{∗}(−t) & = x_{p}(t) − x_{i}(t) \end{aligned}

Combinado esta relação com Equação 2.3 (somando-as e subtraindo uma da outra), temos:

\begin{aligned}x_{p}(t) & = \frac{x(t) + x^{∗}(−t)}{2} \\ x_{i}(t) & = \frac{x(t) − x^{∗}(−t)}{2} \end{aligned}  (2.4)

Assim, podemos extrair componentes pares e ímpares de qualquer sinal. Isso significa que podemos simplificar cálculos na qual há simetria (par ou ímpar) nos sinais. Naturalmente há uma simplificação caso x(t) ∈ ℝ, na qual os conjugados podem ser desconsiderados.

2.2 Sistemas

2.2.1 Modelagem

Descrição de processo de modelagem de sistemas (encontrar suas equações diferenciais).

2.2.2 Solução de EDO linear com coeficientes constantes

Solução total = solução homogênea + solução particular (ou forçada).

2.2.2.1 Formas de solução homogênea para LTI

A resposta homogênea é bastante importante para avaliação de alguns transitórios do sistema sob a forma de energia acumulada no sistema. A forma da solução homogênea é baseada em combinação linear de exponenciais complexos cujo expoente é função do tempo e dos autovalores do sistema.

Assumindo que a ordem da EDO que relaciona x(t) e y(t) (ou seja, ordem da maior derivada de y(t)) igual a N, a solução homogênea y_{h}(t) é dada por:

\begin{aligned}y_{h}(t) & = A_{0}e^{λ_{0}t} + A_{1}e^{λ_{1}t} + ⋯+ A_{N−1} e^{λ_{N−1} t} \\ & = ∑_{n=0}^{N−1} A_{n}e^{λ_{n} t} \end{aligned}  (2.5)

Como os auto-valores λ_{n} são raízes da equação características da EDO, eles podem ser reais ou complexos, com repetição.

Neste primeiro momento, considere N = 2. Logo, temos 3 possibilidades:

• 2 raízes reais distintas;

• 2 raízes reais iguais;

• 2 raízes complexas, conjugadas entre si.

Assim, para o primeiro caso teríamos:

y_{h}(t) = A_{0}e^{λ_{0}t} + A_{1}e^{λ_{1}t}

Para o segundo caso, teríamos:

y_{h}(t) = A_{0}e^{λ_{0}t} + A_{1}te^{λ_{1}t}

Para o terceiro caso, teríamos:

\begin{aligned}y_{h}(t) & = A_{0}e^{λ_{0}t} + A_{1}e^{λ_{1}t} \\ & = A_{0}e^{λ_{0}t} + A_{0}^{∗}e^{λ_{0}^{∗}t} \end{aligned}

Note que o terceiro caso é equivalente ao segundo (apenas note que A_{1} = A_{0}^{∗} com consequência de λ_{1} = λ_{0}^{∗}. Em cálculo utilizávamos diretamente funções senoidais para gerar y_{h}(t), ou:

y_{h}(t) = e^{ℜ(λ_{0})t} {A_{0} sen(ℑ(λ_{0})t) + A_{1} cos(ℑ(λ_{0})t)}

Sugerimos que a versão exponencial complexa seja usada, pois sua manipulação é mais simples, sendo conversível, por relações de Euler, para a equação acima. Assim, todos os casos em que não há repetições de autovalor seguem o mesmo padrão de combinação linear de exponenciais complexas.

Genericamente, quando há M repetições de um autovalor λ_{0}, temos:

\begin{aligned}y_{h}(t) & = A_{0,0}e^{λ_{0}t} + A_{0,1}te^{λ_{0}t} + A_{0,2} \frac{t^{2}}{2}e^{λ_{0}t} + ⋯ \\ & = ∑_{m=0}^{M} A_{0,m} \frac{t^{m}}{m!}e^{λ_{0}t} \end{aligned}

na qual A_{0,m} é apenas uma representação das constantes associadas ao zeroésimo autovalor.

2.2.3 Propriedades

As propriedades listadas aqui ajudam a classificar os sistemas em grupos. Naturalmente alguns grupos possuem características que ajudam ou dificultam a obtenção da resposta do sistema a uma data excitação. Listaremos aqui propriedades importantes, que culminarão na definição de uma classe de sistemas chamada LTI (linear and time-invariant systems) intimamente associadas a um processo matemático chamado convolução.

2.2.3.1 Estabilidade

Há vários critérios que definem se um sistema é estável ou não. Utilizaremos aqui o critério chamado BIBO, do inglês Bounded-Input, Bounded-Output, que significa que se aplicarmos uma excitação cuja máxima amplitude absoluta não é infinita, a resposta do sistema deve apresentar uma máxima amplitude absoluta também não infinita para ser definido como sistema estável.

|x(t)| ≤ A < ∞ ⇒ |y(t)| ≤ B < ∞, ∀t ∈ ℝ  (2.6)

Por esse critério, tais sistemas estáveis devem ser dissipativos, o que implica que a parte real dos auto-valores das soluções homogêneas devem ser negativos para um horizonte de variável independente monotonicamente crescente (lembrando que a resposta homogênea está ligada a descarga de energia armazenada/acumulada quando a excitação se torna nula).

Lembrando que cada exponencial complexa que forma a solução homogênea do sistema pode ser escrita como:

e^{λt}

No caso mais genérico, λ ∈ ℂ, λ = ℜ(λ) + ȷℑ(λ), e

\begin{aligned}e^{λt} & = e^{ℜ(λ)t} e^{ȷℑ(λ)t} \\ & = e^{ℜ(λ)} \{cos(ℑ(λ)t) + j sen(ℑ(λ)t)\} \end{aligned}

Claramente uma parcela do exponencial total oscila com o incremento de t. Assim, resta-nos avaliar o comportamento do exponencial com expoente real (já que t ∈ ℝ).

Assim, temos as seguintes situações:

• Se ℜ(λ) = 0, a resposta homogênea ou é oscilante (ℑ(λ) ≠ 0) ou é constante (ℑ(λ) = 0). Nesse caso, o sistema é instável, pois não é dissipativo;

• Se ℜ(λ) > 0, a resposta homogênea cresce com o aumento de t. Nesse caso o sistema é instável, independente disso ocorrer de modo oscilante ou não; • Se ℜ(λ) < 0, a resposta homogênea decai com o aumento de t, ten-

dendo a zero, independente da presença de um fator oscilante.

Naturalmente se a resposta homogênea for composta de múltiplos exponenciais associados a múltiplos auto-valores (λ’s), a estabilidade depende de que todos esses auto-valores tenham suas partes reais com magnitude negativa.

Estabilidade de acumulador ideal

Considere um integrador definido por:

y(t) = ∫_{−∞}^{t} x(a)da

Para tornar tal equação em uma EDO, basta derivá-la uma vez, obtendo:

\frac{d}{dt}y(t) = x(t)

Sua equação característica é λ = 0, produzindo como solução homogênea:

y_{h}(t) = Ke^{0t} = K

Se x(t) = 0, notamos que a solução total será y(t) = K. Ou seja, o sistema não dissipa energia acumulada, mantendo-a indefinidamente.

2.2.3.2 Causalidade

Causalidade é um conceito baseado no princípio causa-efeito. Em um sistema, isso significa que o sistema reage apenas quando excitado. Isso é definido matematicamente por:

x(t) = 0, t ≤ t_{0} ⇒ y(t) = 0, t ≤ t_{0}  (2.7)

Como consequência disso, sistemas causais são não-antecipatórios, ou melhor, não dependem de informações de um futuro de x(t = t_{0}) para se calcular y(t = t_{0}). Fisicamente não existem sistemas não-causais (que apresentam dependência de futuro), mas em alguns projetos notaremos que sistemas ditos ideais exigiriam conhecimento do futuro. Nesses casos, teremos que aplicar atrasos a esses sistemas projetados de forma a implementá-los.

Exemplo de sistema não-causal Considere o sistema média-móvel teórico de duração T:

y(t) = \frac{1}{T} ∫_{t−T/2}^{t+T/2} x(a)da

Note que o cálculo de y(t) para um determinado instante t = t_{0}, exige, além do conhecimento de x(t) no intervalo [t_{0}, t_{0}−T/2] (passado) como no intervalo [t_{0}, t_{0} + T/2] futuro. Logo, o sistema é não-causal.

2.2.3.3 Memória

Um sistema com memória é aquele que o cálculo de y(t) para um instante t = t_{0} qualquer exige o conhecimento de x(t) para algum t > t_{0} ou t < t_{0}, independente do valor de x(t_{0}). Tal sistema é dito sistema dinâmico.

Se y(t) não apresenta qualquer dependência de x(t) tanto para t > t_{0} quanto para t < t_{0}, ele é um sistema sem memória, ou sistema estático.

Como exemplo podemos citar circuitos RL, RLC, RC como sistemas com memória, enquanto que redes puramente resistivas são sistemas sem memória.

2.2.4 Resposta ao impulso

Dado um sistema qualquer, representado por uma EDO linear com coeficientes constantes, conseguimos calcular sua resposta para qualquer sinal x(t) a partir da soma das respostas homogênea e forçada (particular).

Para o sinal impulso unitário, temos uma peculiaridade: com exceção do instante t = 0, a resposta do sistema é totalmente homogênea, tanto para t < 0 quanto para t > 0. A excitação de δ(t) ocorre instantaneamente em t = 0.

Isso representa o seguinte cenário: o sistema era homogêneo (descarregando condições iniciais uma vez que se trata x(t) = 0 para t < 0). Em t = 0, há uma excitação, que é instantaneamente retirada. Logo, o sistema retorna a condição de homogeneidade para t > 0, mas com condições iniciais para descarregamento distintas da condição para t < 0.

Reforçamos que o sinal x(t) força o sistema a produzir uma saída com comportamento similar à entrada (daí o nome de resposta forçada, pois forçamos o sistema a uma condição específica).

Primeiramente abordaremos o problema com um exemplo envolvendo a resposta de um circuito RC para uma aproximação do sinal impulso, visto que não conhecemos a forma da resposta forçada para δ(t). Na sequência discutiremos uma abordagem para cálculo da resposta ao impulso.

Resposta de um circuito RC ao impulso por aproximação

Considere a seguinte EDO para um circuito RC, com capacitor totalmente descarregado (V_{out}(0) = y(0) = 0), excitado por um impulso unitário (V_{in}(t) = x(t) = δ(t)):

RC \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)

Como excitação, considere um pulso de largura w e amplitude 1/w (x_{1}(t)). Naturalmente, quando w → 0, x_{1}(t) → δ(t) (outras aproximações são possíveis, mas usamos esta, pois x(t) será facilmente decomposto em sinais já conhecidos).

Assim,

\begin{aligned}x_{1}(t) & = \{ \begin{matrix}\frac{1}{w}, & 0 < t < w \\ 0, & c.c. \end{matrix} \\ & = \frac{1}{w}u(t) − \frac{1}{w}u(t − w) \end{aligned}

Naturalmente

x(t) = δ(t) = lim_{w→0} x_{1}(t) ⇒ y(t) = lim_{w→0} h{x_{1}(t)}

onde h{x_{1}(t)} é a resposta do circuito RC para x_{1}(t).

Tal aproximação é possível, pois o sistema representado pela EDO é linear e invariante no tempo. Como x_{1}(t) é composto por dois degraus unitários ponderados, calcularemos então a saída desse sistema para um único degrau, e tal saída será ponderada de modo análogo a x_{1}(t) em relação a tal degrau unitário.

Sendo x_{2}(t) = u(t), temos a seguinte EDO a resolver

RC \frac{dy_{2}(t)}{dt} + y_{2}(t) = u(t)

Obtendo sua solução homogênea e sua solução forçada para t > 0, obtemos a seguinte família de soluções (já fizemos tal cálculo na Seção 2.2.1) a seguinte família de soluções para t > 0 (soma da solução homogênea:

y_{2}(t) = Ke^{\frac{−t}{RC}} + 1

na qual K é uma constante a ser determinada.

Como y_{2}(0) = 0 e x_{2}(t) = 0 para t < 0, isso implica em K = −1 e:

y_{2}(t) = (1 − e^{\frac{−t}{RC}} ) u(t)

Agora retrocedemos para encontrar y_{1}(t) e y(t) a partir das relações entre x_{1}(t) e x(t) em relação a x_{2}(t):

\begin{aligned}y_{1}(t) & = \frac{1}{w}y_{2}(t) − \frac{1}{w}y_{2}(t − w) \\ & = \frac{(1 − e^{\frac{−t}{RC}} ) u(t) − ( 1 − e^{\frac{−(t−w)}{RC}} ) u(t − w)}{w} \end{aligned}

Finalmente,

y(t) = lim_{w→0} y_{1}(t)

que exige a aplicação da relação de L’Hospital, por exemplo, dada a indeterminação \frac{0}{0}. Ou seja:

y(t) = lim_{w→0} \frac{\frac{d}{dw} [(1 − e^{\frac{−t}{RC}} ) u(t) − ( 1 − e^{\frac{−(t−w)}{RC}} ) u(t − w)]}{\frac{d}{dw}w}

= lim_{w→0} −\frac{d}{dw} [( 1 − e^{\frac{−(t−w)}{RC}} ) u(t − w)]

= lim_{w→0} − \{ −\frac{e^{\frac{−t}{RC}}}{RC} u(t − w) + [−δ(t − w)] ( 1 − e^{\frac{−(t−w)}{RC}} ) \}

= \{ \frac{e^{\frac{−t}{RC}}}{RC} u(t) + (1 − e^{\frac{−t}{RC}} ) δ(t)\}

= \frac{e^{\frac{−t}{RC}}}{RC} u(t)

Podemos notar que a maior dificuldade deste processo envolvendo sinal impulso unitário é a necessidade de se “esquivar” do problema principal usando combinações lineares de sinais cuja resposta nós conheçamos ou saibamos como calculá-las.

Há alguns métodos para atacar diretamente o problema. O método que veremos aqui envolve definir uma forma para a solução homogênea após t > 0. Vamos considerar o formato geral de uma EDO:

\begin{matrix}a_{n} \frac{d^{n}}{dt^{n}}y(t) + a_{n−1} \frac{d^{n−1}}{dt^{n−1}} y(t) + ⋯+ a_{1} \frac{d}{dt}y(t) + a_{0}y(t) = \\ b_{m} \frac{d^{m}}{dt^{m}}x(t) + b_{m−1} \frac{d^{m−1}}{dt^{m−1}} x(t) + ⋯+ b_{1} \frac{d}{dt}x(t) + b_{0}x(t) \end{matrix}

com n ≠ m.

Como estamos interessados em encontrar a resposta ao impulso (ou seja h(t) = y(t) para x(t) = δ(t)), reescrevemos a EDO usando outros símbolos para os sinais de entrada e saída:

\begin{matrix}a_{n} \frac{d^{n}}{dt^{n}}h(t) + a_{n−1} \frac{d^{n−1}}{dt^{n−1}} h(t) + ⋯+ a_{1} \frac{d}{dt}h(t) + a_{0}h(t) = \\ b_{m} \frac{d^{m}}{dt^{m}}δ(t) + b_{m−1} \frac{d^{m−1}}{dt^{m−1}} δ(t) + ⋯+ b_{1} \frac{d}{dt}δ(t) + b_{0}δ(t) \end{matrix}

Para formar h(t) devemos considerar as seguintes condições:

• Se substituirmos h(t) e suas derivadas sucessivas até a ordem n na relação acima, que naturalmente deve conter combinação linear de sinais impulso e suas derivadas, devemos ter correspondência entre δ(t) e suas derivadas do lado direito com o lado esquerdo da relação;

• A combinação linear de todas as derivadas de h(t) deve ser igual a zero para t ≠ 0.

Assim, com base na ordem n e m (maiores derivadas de h(t) e δ(t), obtemos as seguintes regras para construção de h(t) a partir da resposta homogênea da EDO (ou seja, h_{h}(t)):

Condição  h(t)
n > m  h_{h}(t)u(t)
n = m  h_{h}(t)u(t) + K_{0}δ(t)
n + 1 = m  h_{h}(t)u(t) + K_{0}δ(t) + K_{1} \frac{d}{dt}δ(t)
n < m  h_{h}(t)u(t) + K_{0}δ(t) + K_{1} \frac{d}{dt}δ(t) + ⋯+ \frac{d^{m−n}}{dt^{m−n}} δ(t)

Tabela 2.1: Regras para obtenção do formato da resposta ao impulso h(t)

Note que cada acréscimo na diferença positiva entre m e n exige a adição uma derivada de δ(t) ponderada por uma constante a determinar. Todas essas constantes serão obtidas a partir de sua aplicação na EDO. Entretanto, como ha equação é não-homogênea somente em t = 0, usaremos as propriedades de integração de δ(t) na vizinhança desse instante para calcular relações entre as constantes a determinar de h(t) e os coeficientes da EDO: basicamente usaremos integração nessa vizinhança e integração cumulativa para obter relações diferenciais linearmente independentes. Também consideraremos áreas de funções com base infinitesimal.

Exemplo de cálculo de h(t)

Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:

\frac{d}{dt}y(t) + ay(t) = \frac{d}{dt}x(t)

Sujeito a x(t) = δ(t). Para facilitar, reescrevermos essa EDO:

\frac{d}{dt}h(t) + ah(t) = \frac{d}{dt}δ(t)

A equação homogênea associada a essa EDO é:

\frac{d}{dt}h_{h}(t) + ah_{h}(t) = 0

cuja solução homogênea tem a forma:

h_{h}(t) = Ae^{−at}

A resposta ao impulso é definida pela relação entre as ordens das maiores derivadas de h(t) e δ(t), que no caso são m = n = 1. Pela Tabela 2.1, temos:

\begin{aligned}h(t) & = h_{h}(t)u(t) + Bδ(t) \\ & = Ae^{−at} u(t) + Bδ(t) \end{aligned}

Ao integrarmos a EDO no intervalo [0−, 0+], considerando h(t) que acabamos de definir, observaremos a influência do impulso unitário (que tem algum valor indefinido em t = 0 na EDO para definir relações envolvendo os coeficientes A e B desconhecidos. Os valores 0− e 0+ significam, respectivamente, vizinhança a esquerda e a direita de zero.

\begin{aligned}∫_{0−}^{0+} [ \frac{d}{dt}h(t)] dt + ∫_{0−}^{0+} [ah(t)]dt & = ∫_{0−}^{0+} [ \frac{d}{dt}δ(t)] dt \\ [h(t)]_{t=0−}^{t=0+} + a ∫_{0−}^{0+} h(t)dt & = [δ(t)]_{t=0−}^{t=0+} \\ h(0+) − h(0−) + a ∫_{0−}^{0+} h(t)dt & = δ(0+) − δ(0−) \\ A − 0 + a ∫_{0−}^{0+} h(t)dt & = 0 − 0 \\ A + a ∫_{0−}^{0+} [Ae^{−at} u(t) + Bδ(t)] dt & = 0 \\ A + a \{ ∫_{0−}^{0+} [Ae^{−at} u(t)] dt + ∫_{0−}^{0+} [Bδ(t)]dt\} & = 0 \end{aligned}

Como as integrações finais possuem bases infinitesimais na vizinhança de t = 0, devemos considerar a existência ou não de uma função δ(t) nos integrandos, pois qualquer outra função resultará em área nula (por conta da base nula). Assim, não precisamos efetuar os cálculos, pois obteremos zero sempre.

Assim, obtemos a primeira relação envolvendo A e B:

A + aB = 0

Para obter outra relação, vamos nos lembrar que se o problema fosse uma EDO excitada por outro sinal qualquer x(t), haveria alguma condição de contorno envolvendo derivadas de y(t) com valor conhecido para alguns instante t = t_{0}. Isso implicaria em derivar y(t) e aplicar valores para t = t_{0}, o que geraria relações linearmente independentes envolvendo os coeficientes a determinar da solução total y(t).

Em nosso caso, partimos para o sentido reverso: primeiro obteremos uma EDO linearmente independente daquela manipulada até aqui através da integração cumulativa. Na sequência integra-la-emos no intervalo [0−, 0+]. Ou seja:

\begin{aligned}∫_{−∞}^{t} [ \frac{d}{dx}h(x)] dx + ∫_{−∞}^{t} [ah(x)]dx & = ∫_{−∞}^{t} [ \frac{d}{dx}δ(x)] dx \\ h(t) − h(−∞) + a ∫_{−∞}^{t} h(x)dx & = δ(t) − δ(−∞) \\ h(t) + a ∫_{−∞}^{t} h(x)dx & = δ(t) \end{aligned}

Agora, com base na forma de h(t), integramos a nova EDO no intervalo [0−, 0+]:

\begin{aligned}∫_{0−}^{0+} h(t)dt + ∫_{0−}^{0+} [a ∫_{−∞}^{t} h(x)dx] dt & = ∫_{0−}^{0+} δ(t)dt \\ B + ∫_{0−}^{0+} [a ∫_{−∞}^{t} h(x)dx] dt & = 1 \end{aligned}

O último cálculo que falta é de uma sucessão de integrações, com intervalos distintos. Não precisamos calculá-la: visto que a integração mais interna não produzirá um sinal impulso, a integração externa resultará em zero, já que o único modo de uma integração de base infinitesimal resultar em valor não nulo é se seu integrando possuisse alguma função δ(t).

Logo,

B = 1

Consequentemente, A = −a e

h(t) = δ(t) − ae^{−at} u(t)

Como podemos ver, o método apresentado é bastante simbólico, exigindo que recordemos alguns conceitos:

• A integração (independente de ser própria ou imprópria) é o cálculo de uma área;

• Integramos no intervalo [0−, 0+] para avaliar o efeito do impulso em t = 0;

• Integramos cumulativamente uma EDO, para gerar uma nova EDO linearmente independente, de modo a extrair uma relação linearmente independente entre os coeficientes da EDO e aqueles a determinar de h(t).

Caso x(t) = δ(t − t_{0}), temos 2 alternativas para encontrar y(t):

• Calculamos a resposta do sistema para x(t) = δ(t), produzindo h(t). Na sequência, atrasamos esse resultado para produzir y(t) = h(t − t_{0});

• Efetuamos todas as integrações de base infinitesimal no intervalo [t_{0}−, t_{0}+] ao invés de [0−, 0+]. Isso ocorre porque o impulso tem valor não-nulo em t = t_{0} e não mais em t = 0. Agora definiremos a forma de h(t) através de uma variação de regras da Tabela 2.1, alterando aqueles δ(t) e u(t) por, respectivamente, δ(t − t_{0}) e u(t − t_{0}), já que o comportamento do sistema é perturbado em t = t_{0}.

Resposta de um circuito RC ao impulso

Sabemos que a equação diferencial de um circuito RC é dado por:

RC \frac{dV_{out}(t)}{dt}+ V_{out}(t) = V_{in}(t)

Assim, vamos considerar V_{in}(t) = δ(t) e V_{out}(t) = h(t) (apenas por questões de nomenclatura e facilidade de identificação de δ(t) para sua integração. Logo, temos:

RC \frac{dh(t)}{dt} + h(t) = δ(t)

Inicialmente vamos calcular sua resposta homogênea, como sempre fazemos para qualquer equação diferencial ordinária linear com coeficientes constantes a partir de sua equação homogênea:

RC \frac{dh_{h}(t)}{dt} + h_{h}(t) = 0

Sua forma exponencial é:

h_{h}(t) = Ae^{λt}

Substituindo-a na equação diferencial homogênea, encontramos algumas relações entre A e λ e os coeficientes dessa equação, ou seja:

\begin{aligned}RCλAe^{λt} + Ae^{λt} & = 0 \\ Ae^{λt}\{RCλ + 1\} & = 0 \end{aligned}

Dentre as possibilidades, temos duas singulares (A = 0 e λ = −∞) que serão descartadas, pois não apresentam sentido para o problema com o qual trabalhamos. A terceira possibilidade é definida pelo termo entre chaves, que define a equação característica do problema. Logo,

λ = −\frac{1}{RC}

Logo, a solução homogênea é:

h_{h}(t) = Ae^{\frac{−t}{RC}}

Agora formamos a solução total do problema. Como as maiores derivadas de h(t) e δ(t) da EDO deste problema são respectivamente 1 e zero, pela Tabela 2.1 sabemos que a forma de h(t) é:

\begin{aligned}h(t) & = h_{h}(t)u(t) \\ & = Ae^{\frac{−t}{RC}} u(t) \end{aligned}

lembrando que o termo u(t) ocorre pois a perturbação da EDO ocorre em t = 0 por causa do sinal de entrada ser δ(t).

Agora integraremos a EDO definida em termos de h(t) e δ(t) em um intervalo infinitesimal a esquerda e a direita de zero (0− → 0+), ou seja:

\begin{aligned}∫_{0−}^{0+} RC \frac{dh(t)}{dt}dt + ∫_{0−}^{0+} h(t)dt & = ∫_{0−}^{0+} δ(t)dt \\ RC [h(t)]_{t=0−}^{t=0+} + ∫_{0−}^{0+} h(t)dt & = 1 \\ RC [A − 0] + 0 & = 1 \\ A & = \frac{1}{RC} \end{aligned}

lembrando que a integração de base infinitesimal de uma função (no caso acima, h(t)) que não possui qualquer impulso é sempre zero.

Assim,

h(t) = \frac{1}{RC}e^{\frac{−t}{RC}} u(t)

2.2.5 Convolução

Até o presente momento, a resolução de uma EDO para obtenção de sua resposta a qualquer sinal x(t) exige, para os sistemas considerados (sendo ou não LTI), o cálculo da resposta homogênea e a resposta forçada associada a x(t).

Se considerarmos um único sistema h(t), qualquer novo sinal (x_{1}(t), x_{2}(t), ⋯, etc.) exigirá o mesmo procedimento. Apenas a forma da solução homogênea não muda. Mesmo assim, não há nada, até agora, que facilite a obtenção da resposta y_{1}(t), y_{2}(t), ⋯, etc.

O intuito de obter a resposta ao impulso de um sistema é obter uma expressão matemática que evite a necessidade de resolver EDOs para qualquer sinal x(t). Partindo do princípio que o sistema é LTI, a saída desse sistema para uma combinação linear de sinais deslocados no tempo é igual à combinação linear das respostas do sistema para cada um desses sinais.

Considerando que qualquer sinal pode ser construído como combinação linear de sinais impulso deslocados no tempo, podemos construir sua saída combinando as respostas a esses impulsos deslocados no tempo.

Para facilitar o processo, considere o seguinte sinal pulso de duração T_{p}:

p(t) = rect(t/T_{p}) = \{ \begin{matrix}1, & |t| < \frac{T_{p}}{2} \\ 0, & c.c. \end{matrix}

Tal sinal tem área T_{p}. Podemos aproximar qualquer sinal por uma combinação linear de p(t) deslocados no tempo:

x(t) ≈ ⋯+ x(−2T_{p}) p(t − 2T_{p}) + x(−T_{p}) p(t + T_{p})
+ x(0) p(t)
+ x(+T_{p}) p(t − T_{p}) + p(+2T_{p}) p(t + 2T_{p}) + ⋯
≈ ∑_{n=−∞}^{+∞} x(n T_{p}) p(t − n T_{p})

Se multiplicarmos e dividirmos a aproximação x(t) por T_{p}, temos:

x(t) ≈ ∑_{n=−∞}^{+∞} T_{p} x(n T_{p}) \{ \frac{1}{T_{p}}p(t − n T_{p})\}

em que reconhecemos o termos entre chaves como sendo um pulso retangular de área unitária, e

lim_{T_{p}→dτ} \frac{1}{T_{p}}p(t) → δ(t)

na qual dτ é um infinitésimo.

Os valores x(−2T_{p}), x(−T_{p}), x(0), x(+T_{p}), x(+2T_{p}), etc. são amostras de x(t) capturadas a intervalos igualmente espaçados de T_{p} unidades da variável independente (tempo, no caso). A expressão matemática pode parecer estranha mas corresponde a uma soma ponderada de p(t) deslocados no tempo.

Figura 2.1: Exemplo de x(t) e sua versão aproximada por pulsos.

Considere agora h_{p}(t) como a resposta de um sistema ao sinal x(t) = \frac{1}{T_{p}}p(t), ou seja, resolvendo a EDO do sistema (solução homogênea + solução particular) para o sinal pulso retangular de área unitária obtemos h_{p}(t) como sua saída.

Se o sistema for LTI, para uma entrada formada pela combinação linear de p(t)’s deslocados no tempo, a saída então será uma combinação linear de h_{p}(t) deslocados no tempo. Ou seja:

y(t) ≈ ⋯+ T_{p}x(−2T_{p}) h_{p}(t − 2T_{p}) + T_{p}x(−T_{p}) h_{p}(t + T_{p})
+ T_{p}x(0) h_{p}(t)
+ T_{p}x(+T_{p}) h_{p}(t − T_{p}) + T_{p} x(+2T_{p}) h_{p}(t + 2T_{p}) + ⋯
≈ ∑_{n=−∞}^{+∞} T_{p} x(nT_{p}) h_{p}(t − nT_{p})

Quando T_{p} se torna um infinitésimo dτ (se for zero, temos uma singularidade), nT_{p} (múltiplos desse infinitésimo) se torna uma variável contínua τ, a resposta ao pulso retangular de área unitária - h_{p}(t) - se torna resposta ao impulso unitário - h(t) - e o somatório desses infinitésimos ponderados de h(t) se tornam uma integração, ou seja:

\begin{aligned}x(t) & = ∫_{−∞}^{+∞} x(τ)δ(t − τ)dτ \\ y(t) & = ∫_{−∞}^{+∞} x(τ)h(t − τ)dτ \end{aligned}

(a segunda expressão é a definição da integral da convolução).

Assim, define-se processo de encontrar a saída de um sistema LTI a partir de sua resposta ao impulso como integral da convolução ou simplesmente convolução, sendo calculada por:

y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫_{−∞}^{+∞} x(a)h(t − a)da  (2.8)

na qual a é uma variável auxiliar para integração (geralmente, livros da área usam τ no lugar de a: preferimos a para evitar confusão durante a escrita da expressão e deixar bem claro que se trata de uma variável auxiliar).

Outro termo para convolução é filtragem, cuja semântica será melhor compreendida na Capítulo 3.

A Figura 2.2 apresenta uma representação gráfica da aproximação que conduz à convolução. Primeiramente temos o sinal x(t) aproximado por duas versões de pulsos retangulares de área unitária. Da mesma forma, temos a direita aproximações da resposta do sistema a tais pulsos.

Figura 2.2: Exemplos de x(t)’s e a resposta do sistema para tais sinais.

Se considerarmos a soma da respostas à combinação linear dos pulsos atrasados que compõem as aproximações de x(t), teremos:

Figura 2.3: Respostas do sistema aos pulsos retangulares, e ao impulso.

Isso implica em dizermos que a resposta ao impulso de um sistema LTI carrega todas as informações e características daquele sistema. É como se fosse sua assinatura: a partir da resolução de uma única EDO (para o sinal impulso unitário - δ(t)), podemos obter a saída do sistema para qualquer outro sinal pelo processo de convolução (não mais resolvemos a EDO). Consequentemente, poderíamos manter a lista de respostas ao impulso de todos os sistemas de nosso interesse e, a partir de agora, calcular apenas a convolução - integral imprópria de produto - para obter a saída desses sistemas para quaisquer sinais, por mais esdrúxulo que sejam.

Note que temos duas variáveis na expressão da convolução: a variável auxiliar a, no cálculo da área de base infinita do produto entre h(a) e x(t−a). Em relação a esta variável, fixamos h(a) em um eixo de abscissa a e refletimos x(a) (gerando x(−a).

Em relação a integração, t é responsável pelo atraso de x(a), ou seja, x(t − a) ≡ x(−a + t) ≡ x(−(a − t)). Assim, fixamos h(a), refletimos e atrasamos x(a) em t e calculamos a área de base infinita.

Ou seja, realizaremos a integração da convolução para um dado t.

Claramente a definição da convolução exige o cálculo de uma integral imprópria, ou seja, espera-se que o resultado seja sempre ∞. Entretanto, características de h(t) ou de x(t) podem conduzir a uma integral imprópria convergente ou até mesmo uma integral própria.

Resposta do circuito RC ao degrau unitário

Vimos anteriormente que a resposta ao impulso do circuito RC é:

h(t) = \frac{1}{RC}e^{\frac{−t}{RC}} u(t)

Pela Equação 2.8, temos:

\begin{aligned}y(t) & = ∫_{−∞}^{+∞} h(a)x(t − a)da \\ & = ∫_{−∞}^{+∞} \frac{1}{RC}e^{\frac{−a}{RC}} u(a)u(t − a)da \end{aligned}

Os degraus unitários presentes influenciarão os limites de integração, ou seja:

y(t) = ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{RC}e^{\frac{−a}{RC}} u(t − a)da

Como u(t−a) ≠ 0 para t−a ≥ 0, em relação a variável de integração a, isso significa u(t − a) ≠ 0 para a < t.

y(t) = \{ ∫_{0}^{t} \frac{1}{RC}e^{\frac{−a}{RC}} da\} u(t)

A colocação do u(t) envolvendo o resultado da integração deve-se ao fato de que esperamos que y(t) = 0 para t < 0, pois fisicamente o circuito só opera a partir de t ≥ 0, não fazendo sentido obter saída para entrada nula (sistema causal).

Matematicamente, pelo fato da integração inicial possuir u(a), que é zero para a < 0, a substituição de t < 0 implica em u(a)u(t − a) = 0 para todo a.

Assim, a resposta ao degrau unitário é:

\begin{aligned}y(t) & = \{ [ \frac{1}{RC}e^{\frac{−a}{RC}} (−RC)] _{a=0}^{a=t} \} u(t) \\ & = (1 − e^{\frac{−t}{RC}} ) u(t) \end{aligned}

2.2.5.1 Propriedades da integral de convolução

As propriedades da convolução evidenciam características do processo de integração. Sua primeira utilidade é acelerar procedimentos de cálculo cuja abordagem direta (pela integração imprópria propriamente dita) demandaria tempo.

Em sistemas LTI cuja resposta ao impulso é conhecida, algumas propriedades da convolução auxiliam na rápida classificação de um sistema quanto a sua estabilidade, causalidade e memória, sem a necessidade de determinar casos e contra-casos como visto na Seção 2.2.3.

Amostragem do Impulso Propriedade descreve o processo teórico de atrasar ou adiantar um sinal.

y(t) = x(t) ∗ {Aδ(t − t_{0})} = Ax(t − t_{0})  (2.9)

O termo A apenas qualifica uma amplificação ou atenuação, real ou complexa. Note que no atrasador/avançador perfeito, a amplitude de entrada permanece inalterada na filtragem.

Demonstração. Pela definição de convolução, com x(t) = δ(t − t_{0}), temos:

y(t) = x(t) ∗ δ(t − t_{0})
= ∫_{−∞}^{+∞} x(t − a)x(a)da
= ∫_{−∞}^{+∞} x(t − a)δ(a − t_{0})da

Como a integração imprópria envolve a função δ(a−t_{0}), ela só faz sentido para a = t_{0}, cujo resultado é uma das definições do impulso unitário, ou seja:

y(t) = x(t − t_{0})

Comutativa Propriedade interessante para cálculos, pois indica que a ordem dos sinais na integral da convolução é irrelevante.

x(t) ∗ y(t) = y(t) ∗ x(t)  (2.10)

Demonstração. Pela definição de convolução, temos:

x(t) ∗ y(t) = ∫_{−∞}^{+∞} x(a)y(t − a)da

Por troca de variáveis (t − a = a′, a = t − a′, da = −da′, a = −∞ ⇒ a′= +∞ e a = +∞ ⇒ a′= −∞), temos:

x(t) ∗ y(t) = − ∫_{+∞}^{−∞} x(t − a′)y(a′)da′
= ∫_{−∞}^{+∞} x(t − a′)y(a′)da′
= y(t) ∗ x(t)

Distributiva ou Paralela

y(t) = [h_{1}(t) + h_{2}(t)] ∗ x(t) = h_{1}(t) ∗ x(t) + h_{2}(t) ∗ x(t)  (2.11)

Demonstração. Pela definição da convolução, temos:

y(t) = [h_{1}(t) + h_{2}(t)] ∗ x(t)
= ∫_{−∞}^{+∞} [h_{1}(a) + h_{2}(a)] x(t − a)da
= [∫_{−∞}^{+∞} h_{1}(a)x(t − a)da] + [∫_{−∞}^{+∞} h_{2}(a)x(t − a)da]
= h_{1}(t) ∗ x(t) + h_{2}(t) ∗ x(t)

Diferenciação

\begin{aligned}y(t) = h(t) ∗ x(t) & ⇒ \frac{d}{dt}y(t) = \frac{d}{dt}h(t) ∗ x(t) \\ & ⇒ \frac{d}{dt}y(t) = h(t) ∗ \frac{d}{dt}x(t) \end{aligned}  (2.12)

Isso implica que a soma da ordem das derivadas do lado direito deve ser igual ao número de derivadas do lado esquerdo, ou seja:

\frac{d^{2}}{dt^{2}}y(t) = \frac{d^{2}}{dt^{2}}h(t) ∗ x(t)

= h(t) ∗ \frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)

= \frac{d}{dt}h(t) ∗ \frac{d}{dt}x(t)

Para usar esta propriedade, é necessário reconhecer que um dos lados da convolução pode ser derivado sucessivamente até produzir completamente combinações lineares de δ(t). Assim, calcula-se primeiro a derivada sucessiva de y(t), que será uma convolução em que um dos lados possui apenas combinação linear de sinais impulso e, em seguida, integra-se sucessivamente esse resultado (usando integrações cumulativas) até encontrar o resultado original desejado (y(t)).

Demonstração. Pela definição da convolução, temos:

y(t) = ∫_{−∞}^{+∞} x(a)h(t − a)da
\frac{d}{dt}y(t) = \frac{d}{dt} \{ ∫_{−∞}^{+∞} x(a)h(t − a)da\}

= ∫_{−∞}^{+∞} x(a)\frac{d}{dt} \{h(t − a)\} da

= ∫_{−∞}^{+∞} \frac{d}{dt} \{x(a)\} h(t − a)da

= x(t) ∗ \frac{d}{dt}h(t) = \frac{d}{dt}x(t) ∗ h(t)

Escala

y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇒ y(at) = |a|x(at) ∗ h(at)  (2.13)

Demonstração. Pela definição de convolução, temos:

y(t) = x(t) ∗ y(t) = ∫_{−∞}^{+∞} x(τ)y(t − τ)dτ

Considere agora t = ±|a|, ou seja, t pode sofrer escala positivo (+|a|) ou negativa (−|a|). Logo,

\begin{aligned}y(±|a|t) & = ∫_{−∞}^{+∞} x(τ) h(±|a|t − τ)dτ \\ & = ∫_{−∞}^{+∞} x(τ) h ( ±|a| ( t − ( \frac{τ}{±|a|} ) ) ) dτ \end{aligned}

Por troca de variáveis (t − (τ/ ± |a|) = τ′, τ = ±|a|(t − τ′), dτ = ∓|a|dτ′, τ = ±∞ ⇒ τ′= ∓∞ para a < 0 e τ = ∓∞ ⇒ τ′= ±∞ para a > 0), temos:

y(±|a|t) = ∓|a| ∫_{±∞}^{∓∞} x(±|a|(t − τ′)) h(±|a|τ′)dτ′
= |a| ∫_{−∞}^{+∞} x(a(t − τ′)h(aτ′)dτ′
= |a|x(at) ∗ h(at)

Estabilidade Agora que dispomos da resposta ao impulso de um sistema LTI, podemos determinar rapidamente se o mesmo é ou não estável no sentido BIBO (Bounded Input, Bounded Output: Um sistema LTI é estável se, e só se:

∫_{−∞}^{+∞} |h(t)| < ∞  (2.14)

Demonstração. Seja um sistema LTI representado pela sua resposta ao impulso h(t). Seja x(t) um sinal de amplitude limitada:

|x(t)| ≤ A < ∞

na qual A é um valor tão grande quanto possível mas nunca infinito. Pela definição da convolução, temos:

y(t) = ∫_{−∞}^{+∞} h(τ)x(t − τ)dτ
|y(t)| = |∫_{−∞}^{+∞} h(τ)x(t − τ)dτ|
≤ ∫_{−∞}^{+∞} |h(τ)x(t − τ)| dτ
≤ ∫_{−∞}^{+∞} |h(τ)||x(t − τ)| dτ ≤ ∫_{−∞}^{+∞} |h(τ)A|dτ
≤ A ∫_{−∞}^{+∞} |h(τ)|dτ

Se ∫_{−∞}^{+∞} |h(a)|da for finita/limitada, então |y(t)| também será finita/limitada.

∫_{−∞}^{+∞} |h(a)|da ⇒ |y(t)| ≤ C < ∞

Causalidade Um sistema é causal se não há dependência de informações no futuro, ou nenhuma resposta é produzida (y(t) = 0) até um instante t_{0} se não houver qualquer excitação até t_{0}. Isso significa que em um sistema LTI cuja resposta ao impulso é conhecida temos:

h(t) = 0, t < 0  (2.15)

Demonstração. Seja x(τ) = 0 para τ < t_{0}.

Logo

y(t) = ∫_{−∞}^{+∞} x(τ)h(t − τ)dτ = ∫_{t_{0}}^{+∞} x(τ)h(t − τ)dτ

Se o sistema for causal, isso implica em y(t) = 0 para t < t_{0}, ou seja:

∫_{t_{0}}^{+∞} x(τ)h(t − τ)dτ = 0, t < t_{0}

Ou seja, h(t − τ) = 0 para t < t_{0} e τ > 0 (pois x(τ) = 0 para τ < t_{0}). Combinando estas inequações, temos:

\begin{matrix}t & < t_{0} \\ τ & > t_{0} ⇒ −τ < −t_{0} \end{matrix} \} ⇒ t − τ < 0

Logo h(t − τ) = 0 se, e só se, t − τ < 0, ou, de modo simplificado, h(x) = 0 se, e só se, x < 0.

Memória Um sistema LTI com resposta ao impulso h(t) é dito sem memória se, e só se:

h(t) = 0, t ≠ 0  (2.16)

Demonstração. Pela definição de convolução temos:

y(t) = ∫_{−∞}^{+∞} x(τ)h(t − τ)dτ =
= lim_{e→0} ∫_{−∞}^{−e} x(τ)h(t − τ)dτ+

lim_{e→0} ∫_{−e}^{+e} x(τ)h(t − τ)dτ+

lim_{e→0} ∫_{+e}^{+∞} x(τ)h(t − τ)dτ

Enquanto a última integração define a dependência de y(t) do passado de x(t) (causalidade), a primeira integração define sua dependência do futuro de x(t) (anti-causalidade). Ambos devem ser nulos para um sistema se memória.

Logo, um sistema é dito sem memória se h(t) = 0 para t ≠ 0, pois isso implica em termos apenas a segunda integração produzindo valores nãonulos.

Convolução entre rect(t/2) e rect(t − 1)

Primeiramente, converteremos as funções retangulares em funções mais simples (no caso, em degraus unitários). Assim

rect(t/2) = u(t + 1) − u(t − 1)
rect(t − 2) = u(t − 3/2) − u(t − 5/2)

Figura 2.4: Representação gráfica dos sinais a serem convoluídos.

Ao invés de calcularmos diretamente a convolução entre essas funções (y(t)), calcularemos a convolução da derivada da derivada de y(t). Isso implica em:

\frac{d^{2}}{dt^{2}}y(t) = \frac{d}{dt} rect(t/2) ∗ rect(t − 2)

= \frac{d}{dt} \{u(t + 1) − u(t − 1)\} ∗ \{u(t − 3/2) − u(t − 5/2)\}

= {δ(t + 1) − δ(t − 1)} ∗ {δ(t − 3/2) − δ(t − 5/2)}

Pelas Equações 2.9 e 2.11 (propriedades distributiva e da convolução com impulso unitário atrasado/adiantado, respectivamente), considere um dos lados da última expressão como h(t) e o outro como aquela que possui impulsos unitários:

\frac{d^{2}}{dt^{2}}y(t) = δ((t + 1) − 3/2) − δ((t + 1) − 5/2)
− δ((t − 1) − 3/2) + δ((t − 1) − 5/2)
= δ(t − 1/2) − δ(t − 3/2) − δ(t − 5/2) + δ(t − 7/2)

Agora, integrando cumulativamente duas vezes a última expressão, temos:

\begin{aligned}\frac{d}{dt}y(t) & = ∫_{−∞}^{t} \frac{d^{2}}{da^{2}}y(a)da \\ & = u(t − 1/2) − u(t − 3/2) − u(t − 5/2) + u(t − 7/2) \end{aligned}

e

y(t) = ∫_{−∞}^{t} \frac{d}{da}y(a)da
= rampa(t − 1/2) − rampa(t − 3/2)
− rampa(t − 5/2) + rampa(t − 7/2)

ou, graficamente, Figura 2.5: Representação gráfica dos sinais a serem convoluídos

Note que este problema poderia ser resolvido com apenas uma derivação e uma integração cumulativa, já que na primeira derivação, um dos lados seria transformado em combinação linear de sinais impulso.

Análise da frequência

X(ȷΩ) = ∫_{−∞}^{+∞} x(t) e^{−ȷΩt} dt  (3.1)

e

x(t) = ∫_{−∞}^{+∞} X(ȷΩ) e^{ȷΩt}dt  (3.2)

3.1 Transformada generalizada

Como vimos, o cálculo da transformada de Fourier de um sinal qualquer exige a resolução de uma integral imprópria, que pode ser transformada em uma integral definida de acordo com as características do sinal (por exemplo, se o sinal tiver duração finita, os limites da integral deixam de ser −∞ e +∞.

Exemplo: x(t) = A

Seja x(t) = A, onde A é um sinal constante. Aplicando a definição de transformada de Fourier, temos:

X(ȷΩ) = ∫_{−∞}^{+∞} x(t) e^{−ȷΩt} dt
= ∫_{−∞}^{+∞} A e^{−ȷΩt} dt
= A ∫_{−∞}^{+∞} e^{−ȷΩt} dt

que não converge.

Agora, calculando a transformada de Fourier do sinal:

x_{σ}(t) = x(t)e^{−σ|t|}

com σ ∈ ℝ.

Temos que:

X(ȷΩ) = lim_{σ→0} X_{σ}(ȷΩ)

e

X_{σ}(ȷΩ) = ∫_{−∞}^{+∞} x_{σ}(t) e^{−ȷΩt} dt =
= ∫_{−∞}^{+∞} x(t)e^{−σ|t|} e^{−ȷΩt} dt =
= A ∫_{−∞}^{+∞} e^{−σ|t|} e^{−ȷΩt} dt

Como

|t| = \{ \begin{matrix}t & t > 0 \\ −t & t ≤ 0 \end{matrix}

Então

X_{σ}(ȷΩ) = A { ∫_{−∞}^{0} e^{(σ−ȷΩ)t} dt + ∫_{0}^{+∞} e^{(−σ−ȷΩ)t} dt}

= A \{ [ \frac{e^{(σ−ȷΩ)t}}{σ − ȷΩ} ] _{t=−∞}^{t=0} + [ \frac{e^{(σ−ȷΩ)t}}{−σ − ȷΩ} ] _{t=0}^{t=+∞} \}

= A\frac{2σ}{σ^{2} + Ω^{2}}

E

X(ȷΩ) = lim_{σ→0} A\frac{2σ}{σ^{2} + Ω^{2}}

Note que X(ȷΩ) = 0 para Ω ≠ 0. Entretanto é indefinido para Ω = 0. Aparentemente parece que tal transformada se assemelha muito com a função impulso (agora no domínio da frequência). Para sabermos se realmente se trata dessa função, devemos calcular a área de X_{σ}(ȷΩ) e verificar se ela é uma área constante. Em caso afirmativo, se trata da função impulso. Caso contrário, é outra função.

Calculando a área, temos:

∫_{−∞}^{+∞} X_{σ}(ȷΩ) = ∫_{−∞}^{+∞} A\frac{2σ}{σ^{2} + Ω^{2}}

= 2A [arctan( \frac{Ω}{σ} ) ] _{σ=−∞}^{σ=+∞}

Note que a função arctan(x) admite uma infinidade de valores para x = −∞ e para x = +∞, da forma −pi/2 + 2kπ e +pi/2 + 2kπ, respectivamente. Mas nosso interesse é o resultado no intervalo [−π, +π], nos valores principais de x. Isso significa que a área de X_{σ}(ȷΩ) - e, consequentemente, de X(ȷΩ) é:

\begin{aligned}∫_{−∞}^{+∞} X_{σ}(ȷΩ) & = 2A [π − (−π)] \\ & = 2πA \end{aligned}

Note que se a área fosse 1, saberíamos que se trata da função impulso. Como a área é constante mas não unitária, sabemos que se trata de um múltiplo 2πA da unidade. Ou seja.

X(ȷΩ) = 2πδ(Ω)

Exemplo: x(t) = sen(Ω_{0}t)

Seja x(t) = cos(Ω_{0}t). Aplicando a definição de transformada de Fourier, temos:

\begin{aligned}X(ȷΩ) & = ∫_{−∞}^{+∞} x(t) e^{−ȷΩt} dt \\ & = ∫_{−∞}^{+∞} sen(Ω_{0}t) e^{−ȷΩt} dt \end{aligned}

que não converge, seja pela função sen() ou pelo exponencial complexo da integração.

Para facilitar as operações de integração, transformaremos a função cos(t) em exponenciais complexas pela relação de Euler, ou seja:

x(t) = sen(Ω_{0}t) = \frac{e^{ȷΩ_{0}t} − e^{−ȷΩ_{0}t}}{2ȷ}

Calculando a tranformada de Fourier de x_{σ}(t) = x(t)e^{−σ|t|} e levando-se em conta a função modular |t|:

X_{σ}(ȷΩ) = \frac{1}{2ȷ}[∫_{−∞}^{0} e^{+ȷΩ_{0}t} e^{+σt} e^{−ȷΩt} + ∫_{0}^{+∞} e^{+ȷΩ_{0}t} e^{−σt} e^{−ȷΩt} ]

− \frac{1}{2ȷ}[∫_{−∞}^{0} e^{−ȷΩ_{0}t} e^{+σt} e^{−ȷΩt} + ∫_{0}^{+∞} e^{−ȷΩ_{0}t} e^{−σt} e^{−ȷΩt} ]

= \frac{1}{2ȷ}[ \frac{1}{σ − ȷ(Ω − Ω_{0})} + \frac{−1}{−(σ + ȷ(Ω − Ω_{0}))} ]

− \frac{1}{2ȷ}[ \frac{1}{σ − ȷ(Ω + Ω_{0})} + \frac{−1}{−(σ + ȷ(Ω + Ω_{0}))} ]

= \frac{1}{2ȷ}[ \frac{2σ}{σ^{2} + (Ω − Ω_{0})^{2}} − \frac{2σ}{σ^{2} + (Ω + Ω_{0})^{2}} ]

Aplicando σ → 0 e usando resultados do exemplo anterior, temos:

X(ȷΩ) = lim_{σ→0} X_{σ}(ȷΩ)

= \frac{π}{ȷ} [δ(Ω − Ω_{0}) − δ(Ω + Ω_{0})]

= ȷπ [δ(Ω + Ω_{0}) − δ(Ω − Ω_{0})]

Exemplo: x(t) = cos(Ω_{0}t)

Seja x(t) = cos(Ω_{0}t). Aplicando a definição de transformada de Fourier, temos:

\begin{aligned}X(ȷΩ) & = ∫_{−∞}^{+∞} x(t) e^{−ȷΩt} dt \\ & = ∫_{−∞}^{+∞} cos(Ω_{0}t) e^{−ȷΩt} dt \end{aligned}

que não converge, seja pela função cos() ou pelo exponencial complexo da integração.

Para facilitar as operações de integração, transformaremos a função cos(t) em exponenciais complexas pela relação de Euler, ou seja:

x(t) = cos(Ω_{0}t) = \frac{e^{ȷΩ_{0}t} + e^{−ȷΩ_{0}t}}{2}

Assim, temos:

X(ȷΩ) = \frac{1}{2} [∫_{−∞}^{+∞} e^{+ȷΩ_{0}t} e^{−ȷΩt} + ∫_{−∞}^{+∞} e^{−ȷΩ_{0}t} e^{−ȷΩt} ]

= \frac{1}{2} [∫_{−∞}^{+∞} e^{−ȷ(Ω−Ω_{0})t} + ∫_{−∞}^{+∞} e^{−ȷ(Ω+Ω_{0})t} ]

Mas, como vimos no exemplo anterior:

∫_{−∞}^{+∞} e^{−ȷΩt} dt = 2πδ(Ω)

Logo:

X(ȷΩ) = π [δ(Ω − Ω_{0}) + δ(Ω + Ω_{0})]

Exemplo: x(t) = sign(t)

Esta função é estudada apenas para dar suporte a análise do sinal degrau unitário, que será visto na sequência. Seja x(t) = sign(t). Aplicando a definição de transformada de Fourier, temos:

X(ȷΩ) = ∫_{−∞}^{+∞} x(t) e^{−ȷΩt} dt
= ∫_{−∞}^{+∞} sign(Ω_{0}t) e^{−ȷΩt} dt

que não converge.

Aproximando x(t) = lim_{σ→0} x_{σ}(t), e lembrando que:

sign(t) = \{ \begin{matrix}−1, & t < 0 \\ 0, & t = 0 \\ +1, & t > 0 \end{matrix}

Temos:

X(ȷΩ) = lim_{σ→0} ∫_{−∞}^{+∞} sign(t)e^{−σ|t|} e^{−ȷΩt} dt

= lim_{σ→0} [∫_{−∞}^{0} −e^{+σt} e^{−ȷΩt} dt + ∫_{0}^{+∞} e^{−σt} e^{−ȷΩt} dt]

= lim_{σ→0} [−\frac{1}{σ − ȷΩ} + \frac{1}{σ + ȷΩ} ]

= \frac{1}{ȷΩ} + \frac{1}{ȷΩ} = \frac{2}{ȷΩ}

Exemplo: x(t) = u(t) Sabendo que a relação entre u(t) e sign(t) é dada por:

u(t) = \frac{1}{2}(1 + sign(t))

Podemos calcular a transformada de Fourier de u(t) a partir de propriedades simples, ou seja:

X(ȷΩ) = ∫_{−∞}^{+∞} \frac{1}{2}(1 + sign(t)) e^{−ȷΩt} dt

= \frac{1}{2} \{ ∫_{−∞}^{+∞} e^{−ȷΩt} dt + ∫_{−∞}^{+∞} sign(t) e^{−ȷΩt} dt\} =

= \frac{1}{2} \{ 2πδ(Ω) + \frac{2}{ȷΩ} \}

= πδ(Ω) + \frac{1}{ȷΩ}